LA PRUEBA DE PRIMALIDAD SIMPLE Y DEFINITIVA

Aquí ofrecemos la prueba de primalidad de un número basada en el principio de simplicidad que practicó Pitágoras.

Pitágoras descubrió la primalidad de los números naturales en el conjunto de ternas pitagóricas primigenias, que construyen los que él denominó triángulos pitagóricos primos.

Los triángulos pitagóricos primos se formulan mediante ternas (a,b,c), que tienen números primos como cateto impar, y del que se deducen los valores del cateto par y de la hipotenusa, que completan los elementos numéricos que, elevados al cuadrado, resuelven la ecuación pitagórica.

Las diez primeras ternas pitagóricas primigenias, todas ellas primas, son:

(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (11,60,61), (13,84,85), (17,144,145), (19,180,181), (23,264,265), (19,420,421), (31,480,481), (37,684,685), (41,840,841), (43,924,925), (47,1104,1105), (53,1404,1405), (59,1740,1741), (61,1860,1861), (67,2244,2245), (71,2520,2521), (73,2664,2665), (79,3120,3121), (83,3444,3445), (89,3960,3961), (97,4704,4705), (101,5100,5101).

Hay que distinguir entre ternas primigenias y ternas primitivas. Son ternas primitivas, pero no primigenias: (9,40,41), (15,8,17), (21,20,29), por ejemplo.

Las ternas pitagóricas primigenias, engendradas por un número primo, irrepetible, forman una secuencia única, abarcando el conjunto de los infinitos números primos.

Las ternas primitivas, formadas por impares no primos, si pueden reproducirse, como múltiplos; así: (9,40,41; 9,12,15) – (15,112,113; 15,8,17), etc…

Como el primer término de una terna pitagórica es siempre un número impar, una fórmula simple nos permite averiguar si, descontados el par 2 y la excepción 3, n es un número primo.

Estamos anunciando la prueba de primalidad definitiva. Y este es su enunciado:

Si n es un número impar, y multiplicando (n+1) por (n-1/2), cuando el resultado es divisible por 3, n es un número primo”.

Ejemplos: n=11

                  11+1=12

                11-1/2=5

                12*5 = 60/3 = 20. Se deduce que 11 es un número primo, que da lugar a la ecuación pitagórica: 112 + 602 = 612

                n=1201

                1201+1 = 1202

                1201-1/2 = 600

                1202*600 = 721200/3 = 240400. Se deduce que 1201 es un número primo, que da lugar a la ecuación pitagórica: 12012 + 7212002 = 7212012

Este patrón de primalidad se funda en la simplicidad de las ternas pitagóricas primas.

Simplicidad que corroboró Albert. EINSTEIN con su “navaja”: “Todo debería hacerse del modo más simple posible, y no más”.

Todos los intentos de la matemática moderna de conseguir el patrón de los números primos, venía fracasando. Así lo reconocía Leonhard EULER: “Los matemáticos han tratado en vano, hasta hoy, descubrir algún orden en la secuencia de los números primos, y tenemos razones para creer que es un misterio, en el que la mente humana no penetrará nunca”.

La Ciberlógica computacional, buscando la vía binaria determinista, ha desacertado.

Aquí desvelamos el secreto de Pitágoras, ¡ E u r e k a!

(Reg. P. I.)

RESOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS PERFECTOS POR VÍA PITAGÓRICA

Por José Luis Suárez Rodríguez

La serie de ternas pitagóricas que tienen como catetos impares los números: 7, 15, 63, 255, 16383, 262143…, que figuran en OEIS como sucesión A 279882, y tienen como catetos pares la sucesión de números perfectos no unitarios, formada por los elementos sucesivos: 24, 112, 1984, 32512, 134201344, 34359476224, 549754765312… (OEIS A064591), mantienen como hipotenusas de las ecuaciones pitagóricas correspondientes los números: 25, 113, 1985, 32513, 134201345, 34359476225, 549754765313…

Se trata de un conjunto pitagórico indefinido, cuya naturaleza aritmológica encierra la elucidación del misterio, reservado por la Escuela, de la resolución de los números perfectos, tema que la mathesis moderna abocó a grandes especulaciones de la Teoría de los números, aún sin cierre.

Aquí exponemos, más que por revelación por intuición, el procedimiento, conseguido y no desvelado, de la formación conjetural, con tendencia al límite racional, de los números perfectos según el método pitagórico.

Con la simplicidad heurística que caracteriza a la aritmética de Pitágoras, heredada por Euclides de Megara y seguida por Nicómaco de Gerasa, investigando su epistemología numérica, hemos averiguado:

1) La formación del sistema de ecuaciones pitagóricas indefinido, productivo de los números perfectos con arreglo a las ternas:

7. 24. 25

15. 112. 113

63. 1984. 1985

255. 32512. 32513

16383. 134201344. 134201345

262143. 34359476224. 34359476225

…...   …..   …..   …..   …..   …...   …..   …..

2) Que los (n-1) /2 de los referidos catetos impares de las ecuaciones pitagóricas consiguientes, multiplicados por los (n+1) /2 de los mismos, dan lugar a la siguiente serie de multiplicaciones, cuyos resultados, duplicados, producen los catetos pares de la ecuación correspondiente, cuya cuarta parte es el número perfecto adecuado en el lugar n del sistema.

Así:

       3*4 = 12                                                                                  24 / 4=6

       7*8 = 56                                                                           112 / 4=28

    31*32 = 992                                                                             1984 / 4=496

    127*128 = 16256                                                              32512 / 4=8128

    8191*8192 = 67100672                                         134201344 / 4=33550336

    131071*131072 = 17179738112                   34359476224 / 4=8589869056

…...   …..   …..   …..   …..   …...   …..   …..   …...   …..   …..   …..   …..   …...   …..   …..

DETERMINACIÓN PITAGÓRICA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

Desvelamos el secreto de la primalidad guardado por la Escuela de Pitágoras

Por José Luis Suárez Rodríguez

En la formación de las ternas pitagóricas: a,b,c, que resuelven la ecuación pitagórica: a2 + b2 = c2, a es siempre un número impar, generador de b y c, cateto par e hipotenusa del triángulo:

n*a=  (a2 - n2) /2 y (a2 + n2) /2, que formulan los valores del cateto par y la hipotenusa.

En la formación de las ternas pitagóricas primigenias, que son las más primitivas, el cateto impar, a, generador de b y c, está representado, en su serie infinita, por la sucesión de los números impares, a partir de 3: 3,5,7,9,11,13,15,17…, dando lugar a la sucesión de las ternas pitagóricas primigenias:

3,4,5 – 5,12,13 – 7,24,25 – 9,40,41 – 11,60,61 – 13,84,85 – 15,112,113…

En su formulación, na es 1a, o sea, un número impar multiplicado por la unidad, que genera b y c, que representan el cateto par y la hipotenusa. Así: b = (a2-1) /2 y c= (a2+1) /2. Así: 1.72= (49 -1) /2 + (49+1) /2: 72 + 242 = 252.

Hay números impares que producen dos o más ternas pitagóricas. Así, los impares 9,15,27,45… producen: 9,40,41; 9,12,15-15,112,113; 15,8,17-

27,364,365; 27,36,45-45,2024,2025; 45,108,117; 45,28,53…

Los números impares que sólo producen una terna pitagórica son los números primos, cuya sucesión, a partir de 5, es: 5,7,11,13,17,19,23…

Prueba de primalidad

Siempre que (a2-1) /2, fórmula que representa el cateto par de una terna primigenia, sea divisible por 3, indica que a es un número primo. El número 5, multiplicado por la unidad, es el único primo múltiplo de 5, aunque, curiosamente, hay múltiplos de 5 que cumplen la regla de la prueba de primalidad.

Ejemplos:

112-1/2=60

172-1/2=144

592-1/2=1740

1632-1/2=13284

3312-1/2=54780

6472-1/2=209304

9972-1/2=497004

43572-1/2=9491724

653932-/2=2138122224

 …..   …..   …..   …..   …..   …..

Resultados cuya divisibilidad por 3, verifica la primalidad de los números impares indicados.

TEOREMA:"Los números naturales impares que solo producen una terna pitagórica son, a partir de 3, los números primos, que, siendo en una ecuación pitagórica catetos impares, producen, mediante la fórmula: (a^2-1) /2, un cateto par divisible por 3. Cumplen también esta regla de divisibilidad los catetos pares de los números naturales que son potencias de los números primos, y por tanto se constituyen en números cuadrados (25,49,121,169, etc...)

NUEVO ALGORITMO DEL PRODUCTO a*b

Por José Luis Suárez Rodríguez

La multiplicación tradicional suele describirse como una operación aritmética por medio de la cual un número a se suma a sí mismo tantas veces como indique otro número b, con el propósito de obtener un resultado c, que se denomina producto.

De otro modo, el producto de dos números naturales, a y b, se expresa mediante la suma repetida de a, tantas veces como indica el número b, o viceversa.

a  b = a + a  + a  + a  … (b sumandos) = c

Aquí presentamos una innovación al producto a  b. Y la formulamos como una operación con recurso a los números inversos, y sin el uso de multiplicación ni potenciación. Así:

Ej.: Hallar el producto de los números 832 y 951, cuya diferencia es 119. Procedimiento:

1/832 – 1/951: 119=1263851816, cuyo inverso es 791232, que es el producto de 832 y 951.

La filosofía de este algoritmo se funda en “El algoritmo sorprendente”, ya descubierto por el autor. Y tiene, igualmente, múltiples aplicaciones para el cálculo cibernético y la criptografía. El autor se reserva los devengos de uso de su Propiedad Intelectual.

SUCESIONES DE NÚMEROS PRIMOS SOLITARIOS, INTERCALADOS ENTRE PRIMOS DÉCIMO-GEMELOS

Existen números primos, separados entre si por la cifra 10, y que forman parejas, estando terminados ambos miembros en igual dígito, 1 o 9. Así, los denominados “Primos décimo-gemelos -Familia 1”, “Primos décimo-gemelos -Familia 9”.

Con aplicación de Hoja de Cálculo se determinan las Sucesiones numéricas que generan estas dos familias de primos décimo-gemelos.

Sucede que entre parejas de números primos décimo-gemelos, o hay inexistencia de números primos o solamente existe un número primo, así llamado “Primo solitario entre primos décimo-gemelos”.

En las parejas de la “Familia 1”, los primos solitarios habidos terminan en dígito 7, y en la “Familia 9”, sus primos solitarios terminan en 3.

Los primos solitarios de los décimo-gemelos se determinan mediante la fórmula: a + b/2, siendo a y b los términos de la pareja, y añadiéndose + 1 para las parejas de la “Familia-1” y -1 para las de la “Familia-9.

Los números primos solitarios terminados en 7 forman una Sucesión, cuyos primeros términos son: 37, 67, 277, 757, 1297, 1867, 2137, 2347, 2377, 2797, 2857…

Los números primos solitarios terminados en 3, también forman una Sucesión, cuyos primeros términos son: 23, 83, 233, 353, 383, 443, 503, 1013, 1283, 1433, 1493, 1553, 1613…

 

El proceso se muestra en la siguiente Tabla:

SUCESIONES DE NÚMEROS PRIMOS SOLITARIOS ENTRE DÉCIMO-GEMELOS

SECUENCIA DE TERNAS PITAGÓRICAS GENERADAS POR TUPLAS FIBONACCI

POR JOSÉ LUIS SUÁREZ RODRÍGUEZ

Phi^3 cumple el “algoritmo sorprendente” de José Luis Suárez Rodríguez

Uno de los números irracionales que cumple la ecuación diofántica es el número Phi o Número de Oro.

Si aplicamos la formulación del "algoritmo sorprendente” a tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, designados como a, b y c, donde c=(a+b), obtenemos x = (c/a) e y = (c/b), que cumple la ecuación: xy=x+y

Tomemos tres elementos consecutivos de Fibonacci, situados en los lugares 22, 23 y 24: 17711, 28657 y 46368, que cumplimentar la operación suma.

Aplicando a la S (a+b), la formulación del “algoritmo sorprendente”: a+b/a y a+b/b, las razones resultantes son: x = 2.61803398 e y = 1.618033988 o sea, el número Phi Y la potencia 2 de Phi.

Cualquier tema a, b, c, de la sucesión Fibonacci, a la que se aplique el algoritmo, cumple la ecuación xy=x+y, dando el resultado: 4.236067978, que viene a ser el numero representativo de Phi3. y resuelve la ecuación diofantina. Así:

Phi2 * Phi= Phi2 + Phi = Phi3

Veamos, por ejemplo, la terna Fibonacci cuyos lugares 33, 34 y 35 se corresponden con los números: 3524578, 5702857 y 9277465;

9227465/3524572 = 618033988

922746575702887 = 1.618033988

Resultados cuya multiplicación y suma se identifican con Phi3 cuyo valor es 4.236067978

Comprobación:

92274652/3524578*5702887 = Phi3