FERMAT: EL INSOLUBLE GRAN PROBLEMA

FERMAT: EL INSOLUBLE GRAN PROBLEMA

 

Siglos antes de que Pierre FERMAT, leyendo a DIAFANTO, planteara su “Gran Problema”, el mismo ya había sido resuelto implícitamente por NICOMACO DE GERASA. Este lo hizo explicando el gnomon o “clave” de sumación de las series de números poligonales.

Los Poligonales son un conjunto de números naturales, formados por la sumación de las sucesivas progresiones aritméticas que empiezan por el 1 y tienen por razón o diferencia 1,2,3,4,5,6…, dando lugar a poligonales triangulares (r=1), cuadrangulares o cuadrados (r=2), pentagonales (r=3), hexagonales (r=4), etc… La razón (r) tiene siempre valor inferior en 2 a la nominación del poligonal correspondiente, que ocupa la base o lado 2 de la serie.

La sumación de las sucesiones progresivas forman una tabla de poligonales, cuya base es la sucesión de los números naturales:

Base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
r=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Triangulares 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91
r=2 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
Cuadrados 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
r=3 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37
Pentagonales 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247

NICOMACO descubrió que: “En cualquier serie poligonal se cumple que la suma correspondiente a dos de sus términos de base más la razón que multiplica a ambos es igual al término de la suma”. Lo que se expresa mediante la fórmula:

Pa + Pb + rab= P (a+b)

En la que a y b son términos de la base poligonal, r es la razón de la progresión y (a+b) es el término suma.

Por ejemplo, en la serie de los números triangulares:

Base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
r=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
  1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91

Para a = 3; b = 5 ; rab = 15, resulta:

Triangular de 3=6

+ Triangular de 5=15

+ 1 x 3 x 5=15

= Término (3+5)= 36

La base poligonal de rab, denominada por NICOMACO gnomon, “clave”, es fácilmente calculable cuando se corresponde con un número poligonal entero. En el caso anterior, 1 x 3 x 5, se corresponde con el valor poligonal de la base 5.

El gran descubrimiento de NICÓMACO, aquí revelado, fue que: “La sumación del gnomon con cada uno de los elementos de la terna: a, b, (a + b), da lugar a una ecuación pitagórica poligonal”.

En el caso anterior:

(5 + 3)= 8, cuyo triangular es 36

(5 + 5)= 10, cuyo triangular es 55

(5 + 8)= 13, cuyo triangular es 91

La terna triangular obtenida: 8. 10. 13, da lugar a una ecuación pitagórica triangular, cuyos valores se cumplen: 36 + 55=91.

En la serie de los números cuadrados o cuadrangulares:

rab de 9 + 2= 11, resulta 36, cuyo gnomon es 6, que:

Sumado a 9 da 15

Sumado a 2 da 8

Sumado a 11 da 17, cumpliéndose la ecuación pitagórica cuadrada correspondiente: 152 + 82=172.

En el caso de que rab no sea un número poligonal entero de la serie, su gnomon es calculable. Sean las bases o números de orden de la serie poligonal cuadrada 3 y 7, cuyo rab es 42. Resulta 42 + 32 + 72= 102.

El gnomon o base de rab = 42 se obtiene mediante la obtención de su raíz cuadrada, que sumada a cada uno de los elementos de la terna, forma una ecuación pitagórica cuadrada:

3 + = 3 + 6.480740698

7 + = 7 + 6.480740698

10 + = 10 + 6.480740698

= 9.4807406982 =   89.88444418

+ 13.4807406982 + 181.73036960

=16.4807406982= 271.6148370

Existe una fórmula para el cálculo del gnomon correspondiente a cada serie poligonal, aplicable a cada rab concreto. Averígüese.

Poligonal suma de tres poligonales, que, por sumación del gnomon a los elementos de las ternas pitagóricas, genera ecuaciones pitagóricas triangulares, cuadradas, pentagonales, hexagonales, etc…, es una propiedad de las series poligonales, en virtud de la razón aritmética de su generación.

Esa propiedad, exclusiva de las potencias de 2, dada su naturaleza poligonal, es de imposible cumplimiento en potencias superiores a 2. Lo descubrió NICÓMACO antes de que FERMAT planteara su Gran Problema.

Conclusión: Explíquese la sinrazón aritmética de las ecuaciones pitagóricas de potencias superiores a 2.

 

aritmolo

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