La clave de π

la clave de pi con recuadro

LA CLAVE DE π

POR JOSÉ LUIS SUÁREZ RODRÍGUEZ

 

La contemplación de la maravilla monumental de las pirámides de Egipto y la sorpresa de su permanencia solemne invitan a investigar el estatismo equilibrado y misterioso de su geometría sagrada, que no es otra cosa que el secreto del número PI, que siempre se tuvo por representar una ley divina revelada.

La búsqueda del secreto de PI como clave arquitectónica llevó a los matemáticos helenos al intento de descubrirlo algorítmicamente como el cociente, expresado en una fracción numérica, que relaciona el perímetro de un circulo con su diámetro.

El célebre matemático de Siracusa, Arquímedes (ca. 287 a.C.), en su obra Medición del círculo realizo el cálculo del número PI, aproximándose a su valoración mediante el método exhaustivo de inscripciones y circunscripciones de polígonos regulares sobre la circunferencia de un círculo. Partiendo del polígono de 96 lados, obtuvo valores de 3+10/71= 3,1408 y 3+1/7= 3,1429, o sea, 223/71 y 22/7.

Arquímedes, que en su juventud vivió en Alejandría, entró en contacto con el mundo de las construcciones egipcias y tuvo ocasión de estudiar el secreto geométrico de las pirámides. Investigaciones de egiptólogos interesados por las proporciones matemáticas de su arquitectura, encontrando diversas aproximaciones de PI en el estudio de las dimensiones piramidales de los monumentos, estimaron que los distintos resultados obedecen a la aplicación, en cada caso, de cálculos expresados según diferentes fracciones numéricas. En la pirámide de Giza la proporción perímetro / altura es de 22/7= 3,1429…, resultado que seguramente conoció Arquímedes.

Pero el hecho de otras aproximaciones de diferente valor hace pensar en la posibilidad del conocimiento por los egipcios de cálculos de PI basados en sucesiones numéricas, tales como los números Pell, conocidos por aritmólogos de la antigua India.

En la Antigüedad se usaban valores de PI referidos a determinadas fracciones, en la búsqueda de un resultado definitivo, aunque lo que se conocen son resultados singulares, como en Susa (Babilonia), en 2000 a.C.: 3+1/8=25/8=3,125; en la India, textos védicos (siglo IX a.C.), por Shatapatha Brahmana, con valor 339/108=3,1388…; en el Egipto milenario (alrededor 1650 a.C.) el Papiro Rihnd, elaborado por el escriva Ahmes: 28/34=256/81=3,160493827; y más cercana la pirámide de Keops, en la que se obtiene el valor de 3,14297… de la relación: base 230,38 m de longitud, altura 146,6 metros.

En el siglo II, Claudio Ptolomeo aportó el valor d PI =3,1416…, correspondiente a la fracción 377/120. Hacia 263 d.C., Liu Hui, aplicando un polígono de 192 lados, halló PI =3,14159; y hacia finales del s. V d.C, el indio Aryabhata, usando un polígono regular inscrito de 384 lados, obtuvo PI =3,1416.

El primero en emplear series numéricas fue Madhava, hacia 1400 d.C., hallando una aproximación exacta de hasta 11 dígitos decimales. Fibonacci (1170-1250), en su libro Practica Geometriae amplió el método de Arquímedes, pero sin usar el método de las sucesiones.

En la época moderna, Viete, en el siglo XVII, usó polígonos de hasta 393.216 (=3.217) para obtener una gran aproximación: PI =3,141592653. Y, en el mismo siglo, Ludolph Van Ceulen consiguió para PI 35 decimales, conociéndose entonces como el “número ludolfiano”. John Wallis, en su Arithmetica infinitorum, 1665, utilizó una serie formada por infinitos términos, de la que se deducía  p/2= 2.2/1.3 x  4.4/3.5 x  6.6/5.7 x  8.8/7.9 x 10.10/9.11… La serie se acerca a PI, pero con una lentitud asombrosa. Del producto situado en el número 100 de la serie se obtiene el valor PI=3,1260789…, que se aleja mucho del valor verdadero reconocido a PI.

Isaac Newton y Leibnitz, también a finales del Siglo XVII, plantearon serias matemáticas en el cálculo de PI, método de fracciones continuas que proliferó con operaciones de avance muy lento, hasta que la llegada de la Era de la computación, ha hecho que se obtengan valores de PI de cifras billonésimas, tales como las de la supercomputadora T2K Tsukuba System, que produce un valor enorme, ilimitado, incontrolable.

Conocida la irracionalidad infinita del numero PI y su condición de numero transcendente, se ha demostrado que no puede expresarse como fracción única de números enteros, demostrado por Johann Heirich Lambert en 1767; y que, dada su transcendencia, no se representa como un polinomio de coeficientes enteros de un modo integral, como expuso Ferdinand Lindemann en el siglo XIX, demostrando así la imposibilidad de la “cuadratura del círculo”.

Aquí presentamos una formulación seriada del numero PI, obtenida con algoritmo algebraico, que permite una programación lineal entera, no estocástica, con base en la aplicación de los números Pell, modelo con el que ya trabajé en mi descubrimiento titulado La Ley Áurea (Véase).

Siendo el valor de PI único, estable, sempiterno y transcendente, de irracionalidad infinita, su cálculo es relativo a una aplicación concreta en un momento histórico dado. Tal fue el cálculo de PI en la construcción de las pirámides de Egipto, dejando de lado el misterio de su sacralidad. El cálculo de PI estará siempre condicionado por la potencia intelectual o computacional de que se disponga y quedará expresada, prácticamente, por la formulación matemática que defina el problema.

Aquí definimos la resolución de PI mediante una formulación algébrica, hasta ahora no conocida. Se expresa mediante un algoritmo simple, conciso, limitado por la elección de los factores relativos al suceso geométrico, arquitectónico, artístico o tecnológico a resolver. Así como lo hicieron, en su caso, los constructores de pirámides, aplicando en cada edificación, el “codo” o la “hipotenusa” adecuados.

Nuestra clave de resolución reside en los números Pell, que permiten la elección de un tramo acotado en la sucesión numérica seriada, con característica del rango de aplicación preciso.

Los denominados números Pell forman dos sucesiones. Una, primitiva, con los valores conocidos; otra, derivada, cuyos valores se forman sumando cada uno de los términos de la primitiva (Véase OEIS A 000129) con el siguiente. Sucesiones que denominamos A y B:

  1. A) 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…
  2. B) 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363,…

Confrontadas ambas sucesiones, se forman fracciones continuas, siendo A los denominadores y B los numeradores:

Si, de la sucesión de fracciones, tomamos los elementos impares, resulta la secuencia fraccionaria continua:

1/1, 7/5, 41/29, 239/169, 1393/985, 3106585/5741, 10536389/33461, 356655386/195025, 12108372212/1136689…

Cuyos cocientes dan como resultado aproximaciones progresivas de la √2.

Si estos numeradores de Pell impares los multiplicamos por 3, y al resultado vamos sumando la potencia 2 de los denominadores anteriores: 12, 52, 292, 1692, 9852, 57412, 334612, 1950252, 11366892…, se generan los numeradores de una nueva sucesión de números, que conforman una secuencia de fracciones continuas, cuyos denominadores son incógnitas a resolver en función de p como número reconocido.

Por ejemplo el n-5 de la sucesión:

n-5= 239x3 + 292 = 1558/496= 3,1411299032…

Adviértase que los segundos términos de la suma de los numeradores se corresponden con las hipotenusas de la sucesión de la Ley Aurea.

En el n-10 de la sucesión ya hay 12 cifras decimales exactas de p, lo que permite un acercamiento muy rápido a los valores programables del mismo.

PROGRAMACIÓN SECUENCIAL DE PI EN FUNCIÓN DE

LOS Nos. SUÁREZ

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aritmolo

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